微积分学示例

$y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 4}$ 重写成 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

解题步骤 2.4

化简。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 移到 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.6.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.14

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.15

合并分数。

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解题步骤 2.15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.15.4

组合 $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.19

从 $- 2 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.20

约去公因数。

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解题步骤 2.20.1

从 $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.20.2

约去公因数。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.20.3

重写表达式。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.22

用公分母合并 $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 和 $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.22.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.22.2

要将 $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.23

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.23.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.23.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.23.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.23.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.23.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.24

化简 $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.25

将 $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 2.26

将 $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 4}$ 。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 2.27.1

将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 2.27.1.1

对 $x^{2} - 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

解题步骤 2.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.27.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.27.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28

化简。

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解题步骤 2.28.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.2

化简分子。

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解题步骤 2.28.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.28.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.28.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.2.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.2.2

从 $3 x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.3

从 $2 x^{4} - 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.28.3.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.3.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.28.3.3

从 $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} (x^{2} - 6)$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

解题步骤 3.3

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 6$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + (x^{2} - 6) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.7.3

将 $2$ 移到 $x^{2} - 6$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 6) x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.8.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.11

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.12

化简分子。

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解题步骤 3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.12.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.13

合并分数。

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解题步骤 3.13.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.13.2

组合 $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.14

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.16

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17

合并分数。

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解题步骤 3.17.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - 2 \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17.5

组合 $x$ 和 $\frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2} x (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2 + 1} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21

从 $x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.22

约去公因数。

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解题步骤 3.22.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.22.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.22.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.22.4

用 $x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23

从 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.23.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.23.1.1

移动 $x^{2} - 6$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23.1.2

将 $x^{3}$ 和 $- 3$ 重新排序。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23.2

从 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23.3

从 $- 3 \cdot x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23.4

从 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{3} (x^{2} - 6))$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.24

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.24.1

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.24.2

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.25

化简。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

解题步骤 3.26

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{3}$ 乘以 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.27.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.27.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.27.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

解题步骤 3.27.5

化简分子。

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解题步骤 3.27.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

解题步骤 3.27.5.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 3.28

组合 $2$ 和 $\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29

化简。

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解题步骤 3.29.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4

化简分子。

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解题步骤 3.29.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.29.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.29.4.1.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.2

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.29.4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.29.4.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.4.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{2} x - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.4.1.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.4.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.5

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.1.6

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.4.2

从 $- 12 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 28 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5}) + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.6

化简。

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解题步骤 3.29.4.1.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.6.2

将 $- 28$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.6.3

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.7

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.29.4.1.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 (x^{2} x^{3})) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{2 + 3}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.7.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{5}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.8

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.9

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (18 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.1.10

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.2

从 $8 x^{5}$ 中减去 $6 x^{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.4.3

将 $- 56 x^{3}$ 和 $36 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.5

从 $2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.29.5.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.5.2

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.5.3

从 $96 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.5.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.29.5.5

从 $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 4}$ 重写成 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5.1.2

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.1.3

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

解题步骤 5.1.4

化简。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $3$ 移到 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.6.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.10

化简分子。

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解题步骤 5.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.11

合并分数。

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解题步骤 5.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.12

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.14

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.15

合并分数。

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解题步骤 5.1.15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.15.4

组合 $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.18

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.19

从 $- 2 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.20

约去公因数。

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解题步骤 5.1.20.1

从 $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.20.2

约去公因数。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.20.3

重写表达式。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.22

用公分母合并 $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 和 $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 5.1.22.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.22.2

要将 $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.23

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.23.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.23.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.23.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.23.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.23.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.24

化简 $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.25

将 $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 5.1.26

将 $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 4}$ 。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

解题步骤 5.1.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 5.1.27.1

将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 5.1.27.1.1

对 $x^{2} - 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

解题步骤 5.1.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 5.1.27.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.1.27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 5.1.27.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28

化简。

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解题步骤 5.1.28.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.2

化简分子。

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解题步骤 5.1.28.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.28.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.28.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.2.1.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.2.2

从 $3 x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.3

从 $2 x^{4} - 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.28.3.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.3.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.28.3.3

从 $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3.2.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.2.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.2.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 6.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} = 6$

解题步骤 6.3.3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 6.3.3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 6.3.3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 6.3.3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 6.3.4

最终解为使 $2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 6.4

排除不能使 $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ 重写成 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.3.3.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(x^{2} - 2^{2})}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x + 2) (x - 2))}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.1.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{3} = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.3

将 ${(x + 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.1

将 ${(x + 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 7.3.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 7.3.3.4

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.1

将 ${(x - 2)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{3} = 0$

解题步骤 7.3.3.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 7.3.3.4.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7.3.3.5

最终解为使 ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 7.4

将 $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 4)}^{3} < 0$

解题步骤 7.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 7.5.2

化简方程。

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解题步骤 7.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 7.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 7.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 7.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x^{2} - 4 < 0$

解题步骤 7.5.3

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$x^{2} < 4$

解题步骤 7.5.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{4}$

解题步骤 7.5.5

化简方程。

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解题步骤 7.5.5.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | < \sqrt{4}$

解题步骤 7.5.5.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.5.2.1

化简 $\sqrt{4}$ 。

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解题步骤 7.5.5.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | < \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 7.5.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | < | 2 |$

解题步骤 7.5.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | < 2$

解题步骤 7.5.6

将 $| x | < 2$ 书写为分段式。

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解题步骤 7.5.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 7.5.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x < 2$

解题步骤 7.5.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 7.5.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x < 2$

解题步骤 7.5.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x < 2 & x \geq 0 \\ - x < 2 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 7.5.7

求 $x < 2$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x < 2$

解题步骤 7.5.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x < 2$ 。

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解题步骤 7.5.8.1

将 $- x < 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.5.8.1.1

将 $- x < 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.8.1.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$x > - 2$

解题步骤 7.5.8.2

求 $x > - 2$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 2 < x < 0$

解题步骤 7.5.9

求解的并集。

$- 2 < x < 2$

解题步骤 7.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 9

计算在 $x = \sqrt{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (\sqrt{6}) ({(\sqrt{6})}^{4} - 10 {(\sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(\sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

将 ${\sqrt{6}}^{4}$ 重写为 $6^{2}$ 。

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解题步骤 10.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 10.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.4

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.5

从 $36$ 中减去 $60$ 。

$\frac{2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.6

将 $- 24$ 和 $48$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{6} \cdot 24}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.7

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.5

计算指数。

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \sqrt{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{6}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = \sqrt{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\sqrt{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{{(\sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.1.1

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.1.2

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.1.3

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 12.2.1.3.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.1.3.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.2.1

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 12.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

解题步骤 12.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

解题步骤 12.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

解题步骤 12.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

解题步骤 12.2.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

解题步骤 12.2.2.1.5

计算指数。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

解题步骤 12.2.2.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.3

把 $\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{2}$ 组合为一个单根式。

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

解题步骤 12.2.4

用 $6$ 除以 $2$ 。

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{3}$

解题步骤 12.2.5

最终答案为 $6 \sqrt{3}$ 。

$y = 6 \sqrt{3}$

解题步骤 13

计算在 $x = - \sqrt{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (- \sqrt{6}) ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(1 {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 14.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.5

计算指数。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.2.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3

化简分子。

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解题步骤 14.3.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (1 {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.3

将 ${\sqrt{6}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4

将 ${\sqrt{6}}^{4}$ 重写为 $6^{2}$ 。

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解题步骤 14.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.5

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.6

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.8

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 14.3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.9.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.9.5

计算指数。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.10

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.11

从 $36$ 中减去 $60$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.12

将 $- 24$ 和 $48$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{6} \cdot 24}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.3.13

将 $24$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 14.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \sqrt{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{6}$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = - \sqrt{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $- \sqrt{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简分子。

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解题步骤 16.2.1.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{216}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.5

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 16.2.1.5.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.5.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 1 \cdot (6 \sqrt{6})}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.2.1

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{1 {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 16.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

解题步骤 16.2.2.4.5

计算指数。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

解题步骤 16.2.2.5

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 16.2.3

把 $\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{2}$ 组合为一个单根式。

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

解题步骤 16.2.4

用 $6$ 除以 $2$ 。

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 16.2.5

最终答案为 $- 6 \sqrt{3}$ 。

$y = - 6 \sqrt{3}$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ 的局部极值。

$(\sqrt{6}, 6 \sqrt{3})$ 是一个局部最小值

$(- \sqrt{6}, - 6 \sqrt{3})$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例