微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.3

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 2.11

化简项。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 2.11.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 2.11.4

组合 $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.11.5

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12

约去公因数。

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解题步骤 2.12.1

从 $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.12.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.12.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.3

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9

合并分数。

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解题步骤 3.9.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9.2

组合 $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13

合并分数。

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解题步骤 3.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13.5

组合 $\frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.18

从 $- 6 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19

约去公因数。

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解题步骤 3.19.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19.4

用 $- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.20

从 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.20.1

移动 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.20.2

从 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.20.3

从 $- 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.20.4

从 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.21

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.21.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.21.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 2) - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.22

化简。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23

从 $x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.24

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2)}^{3}$ 乘以 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.25.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25.5

化简分子。

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解题步骤 3.25.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{6 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25.5.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.26

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 3.27

化简表达式。

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解题步骤 3.27.1

将 $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + 0$

解题步骤 3.27.2

将 $- \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 5.1.1.2

将 $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 5.1.1.3

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 5.1.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 5.1.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.7

合并分数。

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解题步骤 5.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.7.2

组合 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

解题步骤 5.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 5.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 5.1.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 5.1.11

化简项。

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解题步骤 5.1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

解题步骤 5.1.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 5.1.11.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

解题步骤 5.1.11.4

组合 $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.11.5

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.12

约去公因数。

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解题步骤 5.1.12.1

从 $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 5.1.12.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.12.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.1.13

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.1.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2}{{(0 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2}{2^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{1}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{- 1}}$

解题步骤 10.4

通过指数相加将 $2^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $2^{- 1}$ 。

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解题步骤 10.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1}}$

解题步骤 10.4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 10.4.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 10.4.5

化简分子。

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解题步骤 10.4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 2}{2}}}$

解题步骤 10.4.5.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简分母。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 2}}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 12.2.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 12.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 12.2.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 12.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.6.4.1

约去公因数。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.2.3.6.4.2

重写表达式。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.2.3.6.5

计算指数。

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.2.4

最终答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的局部极值。

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例