微积分学示例

$y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

解题步骤 1

将 $y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ 重写成 ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 8 - x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 - x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $8 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $8 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 2.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 相加。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

解题步骤 2.13

化简项。

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解题步骤 2.13.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 2.13.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

解题步骤 2.13.3

组合 $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.14

约去公因数。

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解题步骤 2.14.1

从 $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.14.2

约去公因数。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.14.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 移到 ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 8 - x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 - x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.3

使用 $8 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9

合并分数。

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解题步骤 3.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.9.4

组合 $\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $8 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.11

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.12

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.13

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.14

乘。

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解题步骤 3.14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 (\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.14.2

将 $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 x^{2})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.16

合并分数。

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解题步骤 3.16.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.16.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.16.3

组合 $\frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2} x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.17

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.17.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 (x^{2} x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.17.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2 + 2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.17.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{4}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.18

从 $6 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19

约去公因数。

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解题步骤 3.19.1

从 $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.19.2

约去公因数。

解题步骤 3.19.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{4}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.20

将 $8$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.21

要将 $2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.22

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23

通过指数相加将 ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.23.1

移动 ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.23.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.24

化简 $2 x {(- x^{3} + 8)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.25

将 $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.26

将 $\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.27

重新排序项。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.28

通过指数相加将 ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 3.28.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.28.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.28.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.29

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 3.30

化简表达式。

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解题步骤 3.30.1

将 $\frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 3.30.2

将 $- \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31

化简。

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解题步骤 3.31.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2

化简分子。

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解题步骤 3.31.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.31.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x \cdot x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.31.2.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.31.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{3 + 1}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{4}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.1.4

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.2

合并 $- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.31.2.2.1

将 $- 2 x^{4}$ 和 $2 x^{4}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 x + 0}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.31.2.2.2

将 $16 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ 重写成 ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 8 - x^{3}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 - x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.2.3

使用 $8 - x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.7

合并分数。

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解题步骤 5.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

解题步骤 5.1.8

根据加法法则， $8 - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 5.1.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

解题步骤 5.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 相加。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 5.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

解题步骤 5.1.13

化简项。

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解题步骤 5.1.13.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 5.1.13.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

解题步骤 5.1.13.3

组合 $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.13.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.14

约去公因数。

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解题步骤 5.1.14.1

从 $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 5.1.14.2

约去公因数。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.14.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ 重写成 ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ 。

${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将 ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(8 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(8 - x^{3})}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.3.3.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

${(2^{3} - x^{3})}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

${((2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

${((2 - x) (4 + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.1.4

对 $(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})$ 运用乘积法则。

${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(2 - x)}^{2} = 0$

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.3

将 ${(2 - x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.1

将 ${(2 - x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(2 - x)}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.3.2

求解 $x$ 的 ${(2 - x)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.2.1

将 $2 - x$ 设为等于 $0$ 。

$2 - x = 0$

解题步骤 7.3.3.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.2.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x = - 2$

解题步骤 7.3.3.3.2.2.2

将 $- x = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.1

将 $- x = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.3.2.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x = 2$

解题步骤 7.3.3.4

将 ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.1

将 ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.4.2

求解 $x$ 的 ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.3.3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.3.3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 + 2 x + x^{2} = \pm 0$

解题步骤 7.3.3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$4 + 2 x + x^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.4.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.3.3.4.2.4

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5

化简。

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解题步骤 7.3.3.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.3.3.4.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.3.3.4.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.4.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.3.3.4.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.4.2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.4.2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 7.3.3.5

最终解为使 ${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 7.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = 2$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, 2$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{16 (0)}{{(- {(0)}^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0}{{(- 0^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{0}{{(- 0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0}{{(0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$- \frac{0}{8^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{0}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 10.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.5.1

约去公因数。

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 10.2.5.2

重写表达式。

$- \frac{0}{2^{5}}$

解题步骤 10.2.6

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- \frac{0}{32}$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

用 $0$ 除以 $32$ 。

$- 0$

解题步骤 10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 11

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 11.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 11.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2.2.2

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$f' (- 2) = - \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.2.2.3

最终答案为 $- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3

将区间 $(0, 2)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{{(8 - {(1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2

化简结果。

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解题步骤 11.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(8 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4.2

化简结果。

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解题步骤 11.4.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.4.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 64)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4.2.2.2

从 $8$ 中减去 $64$ 。

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.4.2.3

最终答案为 $- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 11.6

对于 $f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例