微积分学示例

$y = 3 \arccos (x^{6})$

解题步骤 1

将 $y = 3 \arccos (x^{6})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \arccos (x^{6})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.2.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x^{6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.3.1.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.3.2

合并分数。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 2.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

解题步骤 2.3.4

合并分数。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

解题步骤 2.3.4.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ 。

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

解题步骤 2.3.4.4

组合 $\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

解题步骤 2.3.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{12}}$ 重写成 ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.4

化简。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.5.2

将 $5$ 移到 ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{12}$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{12}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.6.3

使用 $1 - x^{12}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.11

合并分数。

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解题步骤 3.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{5}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $1 - x^{12}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ 相加。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{12}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.16

乘。

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解题步骤 3.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.16.2

将 $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.18

合并分数。

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解题步骤 3.18.1

组合 $12$ 和 $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.18.2

组合 $\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{11}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.19

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{11}$ 。

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解题步骤 3.19.1

移动 $x^{11}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.19.3

将 $11$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.20

从 $12 x^{16}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.21

约去公因数。

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解题步骤 3.21.1

从 $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.21.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.21.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.22

将 $1$ 和 $- x^{12}$ 重新排序。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.23

要将 $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.24

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.25

通过指数相加将 ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.25.1

移动 ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.25.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.25.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.25.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.25.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.26

化简 $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

解题步骤 3.27

将 $\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

解题步骤 3.28

将 $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 - x^{12}}$ 。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

解题步骤 3.29

重新排序项。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

解题步骤 3.30

通过指数相加将 ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{12} + 1$ 。

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解题步骤 3.30.1

将 ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{12} + 1$ 。

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解题步骤 3.30.1.1

对 $- x^{12} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

解题步骤 3.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 3.30.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.30.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 3.30.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.31

组合 $- 18$ 和 $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.32

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33

化简。

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解题步骤 3.33.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3

化简分子。

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解题步骤 3.33.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.33.3.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{12}$ 。

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解题步骤 3.33.3.1.1.1

移动 $x^{12}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.1.3

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.5

将 $5$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.1.6

将 $6$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.3.2

将 $- 90 x^{16}$ 和 $108 x^{16}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.4

从 $18 x^{16} + 90 x^{4}$ 中分解出因数 $18 x^{4}$ 。

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解题步骤 3.33.4.1

从 $18 x^{16}$ 中分解出因数 $18 x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.4.2

从 $90 x^{4}$ 中分解出因数 $18 x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.33.4.3

从 $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ 中分解出因数 $18 x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

解题步骤 5

将分子设为等于零。

$18 x^{5} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.1

将 $18 x^{5} = 0$ 中的每一项除以 $18$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1

将 $18 x^{5} = 0$ 中的每一项都除以 $18$ 。

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

约去 $18$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

解题步骤 6.1.2.1.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$x^{5} = \frac{0}{18}$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

用 $0$ 除以 $18$ 。

$x^{5} = 0$

解题步骤 6.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 6.3

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 6.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 7

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8

计算二阶导数。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.1.2

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.1.3

将 $5$ 乘以 $18$ 。

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $90$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0}{1}$

解题步骤 8.3.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 9

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 9.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 9.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.5$ ）代入一阶导数 $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.2.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

解题步骤 9.2.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $- 0.5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

解题步骤 9.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.2.1

对 $- 0.5$ 进行 $12$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

解题步骤 9.2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0.00024414$ 。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

解题步骤 9.2.2.2.3

从 $1$ 中减去 $0.00024414$ 。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 9.2.2.3.1

将 $18$ 乘以 $- 0.03125$ 。

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.4

将 $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 9.2.2.5.1

将 $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.5.2

对 $\sqrt{0.99975585}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.5.3

对 $\sqrt{0.99975585}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.2.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.2.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.5.6

将 ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ 重写为 $0.99975585$ 。

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解题步骤 9.2.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{0.99975585}$ 重写成 ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.5.6.4.1

约去公因数。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.5.6.4.2

重写表达式。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

解题步骤 9.2.2.5.6.5

计算指数。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

解题步骤 9.2.2.6

将 $0.5625$ 乘以 $\sqrt{0.99975585}$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

解题步骤 9.2.2.7

用 $0.56243133$ 除以 $0.99975585$ 。

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

解题步骤 9.2.2.8

乘以 $- (- 1 \cdot 0.56256867)$ 。

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解题步骤 9.2.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $0.56256867$ 。

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

解题步骤 9.2.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.56256867$ 。

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

解题步骤 9.2.2.9

最终答案为 $0.56256867$ 。

$0.56256867$

解题步骤 9.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0.5$ ）代入一阶导数 $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.3.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

解题步骤 9.3.2

化简结果。

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解题步骤 9.3.2.1

对 $0.5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

解题步骤 9.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.3.2.2.1

对 $0.5$ 进行 $12$ 次方运算。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

解题步骤 9.3.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0.00024414$ 。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

解题步骤 9.3.2.2.3

从 $1$ 中减去 $0.00024414$ 。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.3.2.3

将 $18$ 乘以 $0.03125$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.3.2.4

将 $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ 。

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

解题步骤 9.3.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.2.5.1

将 $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.3.2.5.2

对 $\sqrt{0.99975585}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.3.2.5.3

对 $\sqrt{0.99975585}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

解题步骤 9.3.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.5.6

将 ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ 重写为 $0.99975585$ 。

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解题步骤 9.3.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{0.99975585}$ 重写成 ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.5.6.4.1

约去公因数。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.2.5.6.4.2

重写表达式。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

解题步骤 9.3.2.5.6.5

计算指数。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

解题步骤 9.3.2.6

将 $0.5625$ 乘以 $\sqrt{0.99975585}$ 。

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

解题步骤 9.3.2.7

化简表达式。

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解题步骤 9.3.2.7.1

用 $0.56243133$ 除以 $0.99975585$ 。

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

解题步骤 9.3.2.7.2

将 $- 1$ 乘以 $0.56256867$ 。

$f' (0.5) = - 0.56256867$

解题步骤 9.3.2.8

最终答案为 $- 0.56256867$ 。

$- 0.56256867$

解题步骤 9.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例