微积分学示例

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

解题步骤 1

将 $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ 书写为一个函数。

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13 \cos (h x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ 。

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = h x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $h x$ 。

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.3

因为 $h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $h x$ 对 $x$ 的导数是 $h \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.5

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 13$ 。

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 \sin (h x)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = h x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $h x$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

解题步骤 2.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

解题步骤 2.3.3

因为 $h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $h x$ 对 $x$ 的导数是 $h \frac{d}{d x} [x]$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $13 h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 h \sin (h x)$ 对 $x$ 的导数是 $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ 。

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = h x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $h x$ 。

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $h x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.3

因为 $h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $h x$ 对 $x$ 的导数是 $h \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.5

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.6

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.7

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $12 h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 h \cos (h x)$ 对 $x$ 的导数是 $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = h x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $h x$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $h x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

解题步骤 3.3.3

因为 $h$ 对于 $x$ 是常数，所以 $h x$ 对 $x$ 的导数是 $h \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

解题步骤 3.3.7

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

解题步骤 3.3.8

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

解题步骤 5

将方程中的每一项都除以 $\cos (h x)$ 。

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ 转换成 $\tan (h x)$ 。

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 8

用 $13 h$ 除以 $1$ 。

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 9

约去 $\cos (h x)$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 9.2

用 $12 h$ 除以 $1$ 。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

解题步骤 10

分离分数。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{\cos (h x)}$ 转换成 $\sec (h x)$ 。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

解题步骤 12

用 $0$ 除以 $1$ 。

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

解题步骤 13

将 $0$ 乘以 $\sec (h x)$ 。

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

解题步骤 14

从等式两边同时减去 $12 h$ 。

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

解题步骤 15

将 $13 h \tan (h x) = - 12 h$ 中的每一项除以 $13 h$ 并化简。

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解题步骤 15.1

将 $13 h \tan (h x) = - 12 h$ 中的每一项都除以 $13 h$ 。

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.2

化简左边。

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解题步骤 15.2.1

约去 $13$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.1

约去公因数。

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.2.1.2

重写表达式。

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.2.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.1

约去公因数。

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.2.2.2

用 $\tan (h x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.3

化简右边。

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解题步骤 15.3.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.1.1

约去公因数。

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

解题步骤 15.3.1.2

重写表达式。

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

解题步骤 15.3.2

将负号移到分数的前面。

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

解题步骤 16

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

解题步骤 17

化简右边。

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解题步骤 17.1

计算 $\arctan (- \frac{12}{13})$ 。

$h x = - 0.74541947$

解题步骤 18

将 $h x = - 0.74541947$ 中的每一项除以 $h$ 并化简。

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解题步骤 18.1

将 $h x = - 0.74541947$ 中的每一项都除以 $h$ 。

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

解题步骤 18.2

化简左边。

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解题步骤 18.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

解题步骤 18.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

解题步骤 18.3

化简右边。

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解题步骤 18.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

解题步骤 19

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

解题步骤 20

将 $2 π$ 加上 $- 0.74541947 - (3.14159265)$ 。

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 21

得出的角 $2.39617317$ 是正角度且与 $- 0.74541947 - (3.14159265)$ 共边。

$h x = 2.39617317$

解题步骤 22

将 $h x = 2.39617317$ 中的每一项除以 $h$ 并化简。

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解题步骤 22.1

将 $h x = 2.39617317$ 中的每一项都除以 $h$ 。

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

解题步骤 22.2

化简左边。

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解题步骤 22.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

解题步骤 22.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2.39617317}{h}$

解题步骤 23

计算在 $x = \frac{2.39617317}{h}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

解题步骤 24

化简每一项。

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解题步骤 24.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 24.1.1

约去公因数。

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

解题步骤 24.1.2

重写表达式。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

解题步骤 24.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.1

约去公因数。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

解题步骤 24.2.2

重写表达式。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

解题步骤 25

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 26

微积分学 示例

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