微积分学示例

$y = \cos (x)$

解题步骤 1

将 $y = \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cos (x)$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \cos (x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \sin (x) = 0$

解题步骤 5

将 $- \sin (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \sin (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 6

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 9

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 10

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 11

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (0)$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \cos (0)$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 14.2.2

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 15

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \cos (π)$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- - \cos (0)$

解题步骤 16.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- - 1$

解题步骤 16.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 18

求 $x = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = \cos (π)$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = - \cos (0)$

解题步骤 18.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 18.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 1$

解题步骤 18.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = \cos (x)$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最大值

$(π, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 20

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