微积分学示例

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 1

将 $y = \cot (12 π x - 3 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 12 π x - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $12 π x - 3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

解题步骤 2.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

解题步骤 2.1.3

使用 $12 π x - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $12 π x - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.2.2

因为 $12 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 π x$ 对 $x$ 的导数是 $12 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.2.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- (12 π - 3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ 对 $x$ 的导数是 $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ 。

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (12 π x - 3 x)$ 。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

解题步骤 3.2.3

使用 $\csc (12 π x - 3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 12 π x - 3 x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $12 π x - 3 x$ 。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.4.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.4.3

使用 $12 π x - 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.6

对 $\csc (12 π x - 3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.7

对 $\csc (12 π x - 3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $12 π x - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

解题步骤 3.11

因为 $12 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 π x$ 对 $x$ 的导数是 $12 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

解题步骤 3.13

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

解题步骤 3.14

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

解题步骤 3.16

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

解题步骤 3.17

对 $12 π - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 3.18

对 $12 π - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 3.21

重新排序 $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ 的因式。

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

解题步骤 5

将 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ 中的每一项除以 $- 12 π + 3$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ 中的每一项都除以 $- 12 π + 3$ 。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $12 π - 3$ 和 $- 12 π + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

从 $- 12 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.1.2.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.1.2.3

从 $3 (- 4 π) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.1.2.4

约去公因数。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.1.2.5

重写表达式。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2

约去 $4 π - 1$ 和 $- 4 π + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2.3

从 $- (- 4 π) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- (- 4 π + 1)$ 重写为 $- 1 (- 4 π + 1)$ 。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2.5

约去公因数。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.2.6

用 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ 除以 $1$ 。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.3

乘以 $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ 乘以 $1$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $0$ 和 $- 12 π + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $- 12 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

解题步骤 5.3.1.2.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.1.2.3

从 $3 (- 4 π) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

解题步骤 5.3.1.2.4

约去公因数。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

解题步骤 5.3.1.2.5

重写表达式。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

解题步骤 5.3.2

用 $0$ 除以 $- 4 π + 1$ 。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

解题步骤 6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

解题步骤 7.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

解题步骤 8

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 9

计算在 $x =$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

计算 $\csc (12 π - 3)$ 。

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.1

对 $- 7.08616739$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 乘以 $50.21376836$ 。

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.2.3

将 ${(12 π - 3)}^{2}$ 重写为 $(12 π - 3) (12 π - 3)$ 。

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.3

使用 FOIL 方法展开 $(12 π - 3) (12 π - 3)$ 。

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解题步骤 10.3.1

运用分配律。

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.3.2

运用分配律。

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.3.3

运用分配律。

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1.1

乘以 $12 π (12 π)$ 。

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解题步骤 10.4.1.1.1

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.1.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.1.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.2

将 $- 3$ 乘以 $12$ 。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.3

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.4.2

从 $- 36 π$ 中减去 $36 π$ 。

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.5

将 $100.42753672$ 乘以 $144 π^{2} - 72 π + 9$ 。

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

解题步骤 10.6

计算 $\cot (12 π - 3)$ 。

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

解题步骤 10.7

将 $120917.6026078$ 乘以 $7.01525255$ 。

$848267.52020773$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x =$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x =$ 是一个极小值

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ 的局部极值。

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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