微积分学示例

$y = x (81 - x) (54 - x)$

解题步骤 1

将 $y = x (81 - x) (54 - x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x (81 - x) (54 - x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (81 - x)$ 且 $g (x) = 54 - x$ 。

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $54 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $54$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.6.2

将 $- 1$ 移到 $x (81 - x)$ 的左侧。

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.2.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 81 - x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $81 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.2

因为 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $81$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

解题步骤 2.4.8

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.8.1

将 $81 - x$ 乘以 $1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

解题步骤 2.4.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

解题步骤 2.5.4

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.5.1

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.8

将 $- 2$ 乘以 $54$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.14

将 $54$ 乘以 $81$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

解题步骤 2.5.5.15

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

解题步骤 2.5.5.16

从 $- 108 x$ 中减去 $81 x$ 。

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

解题步骤 2.5.5.17

从 $- 81 x$ 中减去 $189 x$ 。

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

解题步骤 2.5.5.18

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 270 x + 4374$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 270 x] + \frac{d}{d x} [4374]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 270 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- 270$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 270 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 270 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 270 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 270$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 270 + \frac{d}{d x} (4374)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $4374$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4374$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 270 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x - 270$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 270$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (81 - x)$ 且 $g (x) = 54 - x$ 。

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $54 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $54$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.6.2

将 $- 1$ 移到 $x (81 - x)$ 的左侧。

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.2.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

解题步骤 5.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 81 - x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.4.1

根据加法法则， $81 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.2

因为 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $81$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

解题步骤 5.1.4.8

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.4.8.1

将 $81 - x$ 乘以 $1$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

解题步骤 5.1.4.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

解题步骤 5.1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.5.1

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

解题步骤 5.1.5.2

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.3

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.4

运用分配律。

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.5.5.1

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.8

将 $- 2$ 乘以 $54$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.14

将 $54$ 乘以 $81$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

解题步骤 5.1.5.5.15

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

解题步骤 5.1.5.5.16

从 $- 108 x$ 中减去 $81 x$ 。

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

解题步骤 5.1.5.5.17

从 $- 81 x$ 中减去 $189 x$ 。

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

解题步骤 5.1.5.5.18

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 270 x + 4374$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 270 x + 4374$ 。

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

解题步骤 6.2

从 $3 x^{2} - 270 x + 4374$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 270 x + 4374 = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $- 270 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 90 x) + 4374 = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $4374$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

解题步骤 6.2.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 90 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

解题步骤 6.2.5

从 $3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$

解题步骤 6.3

将 $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将 $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x^{2} - 90 x + 1458$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 90 x + 1458 = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} - 90 x + 1458 = 0$

解题步骤 6.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 90$ 和 $c = 1458$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{90 \pm \sqrt{{(- 90)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1458)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1.1

对 $- 90$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1458$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.3

从 $8100$ 中减去 $5832$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.4

将 $2268$ 重写为 $18^{2} \cdot 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.6.1.4.1

从 $2268$ 中分解出因数 $324$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.4.2

将 $324$ 重写为 $18^{2}$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 6.6.3

化简 $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ 。

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

解题步骤 6.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1.1

对 $- 90$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1458$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.3

从 $8100$ 中减去 $5832$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4

将 $2268$ 重写为 $18^{2} \cdot 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.7.1.4.1

从 $2268$ 中分解出因数 $324$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4.2

将 $324$ 重写为 $18^{2}$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 6.7.3

化简 $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ 。

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

解题步骤 6.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$

解题步骤 6.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1.1

对 $- 90$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1458$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.3

从 $8100$ 中减去 $5832$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.4

将 $2268$ 重写为 $18^{2} \cdot 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.8.1.4.1

从 $2268$ 中分解出因数 $324$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.4.2

将 $324$ 重写为 $18^{2}$ 。

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 6.8.3

化简 $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ 。

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

解题步骤 6.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$

解题步骤 6.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

解题步骤 9

计算在 $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (45 + 9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

运用分配律。

$6 \cdot 45 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 10.1.2

将 $6$ 乘以 $45$ 。

$270 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 10.1.3

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$270 + 54 \sqrt{7} - 270$

解题步骤 10.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $270$ 中减去 $270$ 。

$0 + 54 \sqrt{7}$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 和 $54 \sqrt{7}$ 相加。

$54 \sqrt{7}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $45 + 9 \sqrt{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - (45 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1.1

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $45$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.1.2

从 $81$ 中减去 $45$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.2.1

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 (36 - 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.2.2

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.2.3

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.3.1.1

将 $45$ 乘以 $36$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.2

将 $- 9$ 乘以 $45$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.3

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.4

乘以 $9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.3.1.4.1

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.4.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.5.5

计算指数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.1.6

将 $- 81$ 乘以 $7$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.2

从 $1620$ 中减去 $567$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.3.3

将 $- 405 \sqrt{7}$ 和 $324 \sqrt{7}$ 相加。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.1.1

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $45$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (9 \sqrt{7}))$

解题步骤 12.2.4.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.4.2

从 $54$ 中减去 $45$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.5.1

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 - 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.5.2

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.5.3

运用分配律。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1.1

将 $1053$ 乘以 $9$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6.1.2

将 $- 9$ 乘以 $1053$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6.1.3

将 $9$ 乘以 $- 81$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6.1.4

乘以 $- 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1.4.1

将 $- 9$ 乘以 $- 81$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

解题步骤 12.2.6.1.4.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

解题步骤 12.2.6.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

解题步骤 12.2.6.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

解题步骤 12.2.6.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 12.2.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 12.2.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 12.2.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.6.1.5.4.1

约去公因数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 12.2.6.1.5.4.2

重写表达式。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

解题步骤 12.2.6.1.5.5

计算指数。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

解题步骤 12.2.6.1.6

将 $729$ 乘以 $7$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 5103$

解题步骤 12.2.6.2

将 $9477$ 和 $5103$ 相加。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7}$

解题步骤 12.2.6.3

从 $- 9477 \sqrt{7}$ 中减去 $729 \sqrt{7}$ 。

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

解题步骤 12.2.7

最终答案为 $14580 - 10206 \sqrt{7}$ 。

$y = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

解题步骤 13

计算在 $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (45 - 9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

运用分配律。

$6 \cdot 45 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 14.1.2

将 $6$ 乘以 $45$ 。

$270 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

解题步骤 14.1.3

将 $- 9$ 乘以 $6$ 。

$270 - 54 \sqrt{7} - 270$

解题步骤 14.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

从 $270$ 中减去 $270$ 。

$0 - 54 \sqrt{7}$

解题步骤 14.2.2

从 $0$ 中减去 $54 \sqrt{7}$ 。

$- 54 \sqrt{7}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用表达式中的 $45 - 9 \sqrt{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - (45 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1.1

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $45$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.1.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.1.2

从 $81$ 中减去 $45$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.2.1

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 (36 + 9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.2.2

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.2.3

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.3.1.1

将 $45$ 乘以 $36$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.2

将 $9$ 乘以 $45$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.3

将 $36$ 乘以 $- 9$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.4

乘以 $- 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.3.1.4.1

将 $9$ 乘以 $- 9$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.4.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.5.5

计算指数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.1.6

将 $- 81$ 乘以 $7$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.2

从 $1620$ 中减去 $567$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.3.3

从 $405 \sqrt{7}$ 中减去 $324 \sqrt{7}$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.4

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.4.1.1

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $45$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

解题步骤 16.2.4.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 + 9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.4.2

从 $54$ 中减去 $45$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.5.1

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 + 9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.5.2

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.5.3

运用分配律。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1.1

将 $1053$ 乘以 $9$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6.1.2

将 $9$ 乘以 $1053$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6.1.3

将 $9$ 乘以 $81$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6.1.4

乘以 $81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1.4.1

将 $9$ 乘以 $81$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

解题步骤 16.2.6.1.4.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

解题步骤 16.2.6.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

解题步骤 16.2.6.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

解题步骤 16.2.6.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 16.2.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 16.2.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.6.1.5.4.1

约去公因数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.6.1.5.4.2

重写表达式。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

解题步骤 16.2.6.1.5.5

计算指数。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

解题步骤 16.2.6.1.6

将 $729$ 乘以 $7$ 。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 5103$

解题步骤 16.2.6.2

将 $9477$ 和 $5103$ 相加。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7}$

解题步骤 16.2.6.3

将 $9477 \sqrt{7}$ 和 $729 \sqrt{7}$ 相加。

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

解题步骤 16.2.7

最终答案为 $14580 + 10206 \sqrt{7}$ 。

$y = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x (81 - x) (54 - x)$ 的局部极值。

$(45 + 9 \sqrt{7}, 14580 - 10206 \sqrt{7})$ 是一个局部最小值

$(45 - 9 \sqrt{7}, 14580 + 10206 \sqrt{7})$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例