微积分学示例

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 8]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.5

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.6

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.6.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.7

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.9.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.9.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

解题步骤 8.2.2.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

解题步骤 8.2.2.11

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

解题步骤 8.2.2.12

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

解题步骤 8.2.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.12.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.2.12.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.2.12.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

解题步骤 8.2.2.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

解题步骤 8.2.2.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

解题步骤 8.2.2.14

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

解题步骤 8.2.2.15

将 $5$ 乘以 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

解题步骤 9.2

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

解题步骤 10.1.2

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

解题步骤 10.1.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

解题步骤 10.1.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $15$ 。

$A (x) = \frac{15}{2}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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