微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 13$ , $[0, \sqrt{26}]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, \sqrt{26}]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} - 13 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}}$ 和 $- 13 x]_{0}^{\sqrt{26}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} - 13 x$ 在 $\sqrt{26}$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} ((\frac{1}{3} \cdot {\sqrt{26}}^{3} - 13 \sqrt{26}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 ${\sqrt{26}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{26^{3}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{26^{3}} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.2

对 $26$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{17576} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{17576}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 - 13 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.6

将 $- 13$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 + 0))$

解题步骤 8.2.2.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - 0)$

解题步骤 8.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} + 0)$

解题步骤 8.2.2.9

将 $\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $17576$ 重写为 $26^{2} \cdot 26$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $17576$ 中分解出因数 $676$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{676 (26)}}{3} - 13 \sqrt{26})$

解题步骤 8.3.1.2

将 $676$ 重写为 $26^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{26^{2} \cdot 26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

解题步骤 8.3.2

从根式下提出各项。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

解题步骤 8.3.3

要将 $- 13 \sqrt{26}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 8.3.4

组合 $- 13 \sqrt{26}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

解题步骤 8.3.5

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

解题步骤 8.3.6

将 $3$ 乘以 $- 13$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 39 \sqrt{26}}{3})$

解题步骤 8.3.7

从 $26 \sqrt{26}$ 中减去 $39 \sqrt{26}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{- 13 \sqrt{26}}{3})$

解题步骤 8.3.8

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} + 0} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

解题步骤 9.2

将 $\sqrt{26}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

解题步骤 10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.1

约去 $\sqrt{26}$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

将 $- \frac{13 \sqrt{26}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{- 13 \sqrt{26}}{3}$

解题步骤 10.1.2

从 $- 13 \sqrt{26}$ 中分解出因数 $\sqrt{26}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

解题步骤 10.1.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

解题步骤 10.1.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{- 13}{3}$

解题步骤 10.2

将负号移到分数的前面。

$A (x) = - \frac{13}{3}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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