微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 7.2.2

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

解题步骤 8

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 11

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