微积分学示例

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

解题步骤 1

将 $\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

解题步骤 2.10.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

将 $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.10.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.10.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

解题步骤 2.12.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1

将 $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.12.3.2

化简分母。

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解题步骤 2.12.3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.12.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 2.13

$2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ 的解是 $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ 。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

解题步骤 3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

集合符号：

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

解题步骤 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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