微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

将 $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

从等式两边同时减去 $64$ 。

$x^{3} = - 64$

在等式两边都加上 $64$ 。

$x^{3} + 64 = 0$

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$x^{3} + 4^{3} = 0$

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

化简。

点击获取更多步骤...

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

将 $x^{2} - 4 x + 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

将 $x^{2} - 4 x + 16$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 16$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

化简。

点击获取更多步骤...

化简分子。

点击获取更多步骤...

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

点击获取更多步骤...

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

化简分子。

点击获取更多步骤...

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

点击获取更多步骤...

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

化简分子。

点击获取更多步骤...

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 。

点击获取更多步骤...

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

化简 $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

最终解为使 $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 4}$

Step 4

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${y | y \in ℝ}$

Step 5

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

值域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6

微积分学 示例

微积分学示例