微积分学示例

$f (x) = \sqrt{\ln (e^{- x})}$

解题步骤 1

将 $\ln (e^{- x})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$e^{- x} > 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) > \ln (0)$

解题步骤 2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3

$e^{- x} > 0$ 无解

无解

无解

解题步骤 3

将 $\sqrt{\ln (e^{- x})}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\ln (e^{- x}) \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将不等式转换为等式。

$\ln (e^{- x}) = 0$

解题步骤 4.2

求解方程。

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解题步骤 4.2.1

展开 $\ln (e^{- x})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$- x \ln (e)$

解题步骤 4.2.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- x \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- x$

$- x$

解题步骤 4.2.2

展开的方程为 $- x = 0$ 。

$- x = 0$

解题步骤 4.2.3

将 $- x = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- x = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{- 1}$

$x = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 4.3

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq 0$

$x \leq 0$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0]$

集合符号：

${x | x \leq 0}$

解题步骤 6

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${y | y \geq 0}$

解题步骤 7

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, 0], {x | x \leq 0}$

值域： $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$