微积分学示例

$g (x) = \sqrt{\ln (x - 1)}$

解题步骤 1

将 $\ln (x - 1)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 > 0$

解题步骤 2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x > 1$

解题步骤 3

将 $\sqrt{\ln (x - 1)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\ln (x - 1) \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将不等式转换为等式。

$\ln (x - 1) = 0$

解题步骤 4.2

求解方程。

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解题步骤 4.2.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x - 1)} = e^{0}$

解题步骤 4.2.2

使用对数的定义将 $\ln (x - 1) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x - 1$

解题步骤 4.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将方程重写为 $x - 1 = e^{0}$ 。

$x - 1 = e^{0}$

解题步骤 4.2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x - 1 = 1$

解题步骤 4.2.3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.3.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1 + 1$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = 2$

解题步骤 4.3

求 $\ln (x - 1)$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\ln (x - 1)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 > 0$

解题步骤 4.3.2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x > 1$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(1, \infty)$

解题步骤 4.4

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 2$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[2, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 2}$

解题步骤 6

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${y | y \geq 0}$

解题步骤 7

确定定义域和值域。

定义域： $[2, \infty), {x | x \geq 2}$

值域： $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

解题步骤 8

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