微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 1$ , $- 1 < x < 2$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + x]_{- 1}^{2})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ 和 $x]_{- 1}^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + x$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.5

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.6.2

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 - 1))$

解题步骤 8.2.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{- 1}{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.9

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1))$

解题步骤 8.2.2.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}))$

解题步骤 8.2.2.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}))$

解题步骤 8.2.2.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})$

解题步骤 8.2.2.13

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 3}{3})$

解题步骤 8.2.2.13.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 4}{3})$

解题步骤 8.2.2.14

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

解题步骤 8.2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + 1 (\frac{4}{3}))$

解题步骤 8.2.2.16

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

解题步骤 8.2.2.17

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14 + 4}{3})$

解题步骤 8.2.2.18

将 $14$ 和 $4$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{3})$

解题步骤 8.2.2.19

约去 $18$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.19.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3})$

解题步骤 8.2.2.19.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)})$

解题步骤 8.2.2.19.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.2.19.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6}{1})$

解题步骤 8.2.2.19.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6)$

解题步骤 9

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 6$

解题步骤 10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$A (x) = 2$

解题步骤 11

微积分学 示例

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