微积分学示例

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是否连续，需要求出 $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\sqrt{1 + x^{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$1 + x^{3} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{3} \geq - 1$

解题步骤 1.2.2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x^{3} + 1 \geq 0$

解题步骤 1.2.3

把不等式转换成方程。

$x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{3} + 1^{3} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.3.2

一的任意次幂都为一。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

解题步骤 1.2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.7

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq - 1$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 1}$

区间计数法：

$[- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 1}$

解题步骤 2

$g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

$g (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $g$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

解题步骤 5

使 $u = 1 + x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

设 $u = 1 + x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $1 + x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $1 + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + 3 x^{2}$

解题步骤 5.1.5

将 $0$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 5.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

解题步骤 5.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 8$

解题步骤 5.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

解题步骤 6

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 10

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

解题步骤 10.2.8

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

解题步骤 10.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

解题步骤 10.2.10

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

解题步骤 10.2.11

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

解题步骤 10.2.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

解题步骤 10.2.13

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.13.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

解题步骤 10.2.13.2

从 $54$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

解题步骤 10.2.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{52}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

解题步骤 10.2.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

解题步骤 11

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

解题步骤 12

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

从 $52$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{26}{9}$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例