微积分学示例

$g (x) = {(x - 6)}^{2}$ , $[5, 8]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$g (x)$ 在 $[5, 8]$ 上连续。

$g (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $g$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} {(x - 6)}^{2} d x)$

解题步骤 5

使 $u = x - 6$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x - 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 5 - 6$

解题步骤 5.3

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 8 - 6$

解题步骤 5.5

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

解题步骤 7.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

解题步骤 7.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 7.2.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8 + 1}{3})$

解题步骤 7.2.7

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{9}{3})$

解题步骤 7.2.8

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.8.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

解题步骤 7.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

解题步骤 7.2.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3}{1})$

解题步骤 7.2.8.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (3)$

解题步骤 8

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

解题步骤 9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

解题步骤 9.2

重写表达式。

$A (x) = 1$

解题步骤 10

微积分学 示例

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