微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ , $0 < x < 4$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C$

解题步骤 1.2

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{3} \geq 0$

解题步骤 1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.3.2

化简方程。

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解题步骤 1.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \geq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \geq 0$

解题步骤 1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上不连续，因为 $0$ 不在 $f (x)$ 的定义域内。只有连续函数才能求平均值。

$f (x)$ 为不连续

解题步骤 3

微积分学 示例

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