微积分学示例

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[- 4, - 3]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $x^{- 1}$ 的底数设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 4, - 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

解题步骤 8

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $- 3$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $- 3$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.4

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.5

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.6

约去 $- 16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.6.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.6.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.6.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.6.2.4

用 $- 8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.7

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.8

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.9

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.10

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.10.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.10.2

从 $9$ 中减去 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.11

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

解题步骤 9.1.3.12

要将 $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 9.1.3.13

组合 $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

解题步骤 9.1.3.14

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

解题步骤 9.1.3.15

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

解题步骤 9.2.2

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

解题步骤 9.2.3

从 $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

解题步骤 9.2.4

从 $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

解题步骤 9.2.5

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 3$ 和 $0$ 之间的距离为 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 4$ 和 $0$ 之间的距离为 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

解题步骤 10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

解题步骤 10.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

解题步骤 10.2.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

解题步骤 10.3

将 $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

解题步骤 11

化简分子。

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解题步骤 11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ 。

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

解题步骤 11.2

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

解题步骤 11.3

对 $3$ 进行 $24$ 次方运算。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

解题步骤 11.4

对 $4$ 进行 $24$ 次方运算。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

解题步骤 12

微积分学 示例

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