微积分学示例

$f (x) = \sin (x)$ , $[0, π]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, π]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (x)]_{0}^{π})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\cos (0) + 1)$

解题步骤 6.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (1 + 1)$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (1 + 1)$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (2)$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot 2$

解题步骤 7.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot 2$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $2$ 。

$A (x) = \frac{2}{π}$

解题步骤 9

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