微积分学示例

$f (x) = 7 x^{2} + 7$ , $[- 1, 4]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} + 7 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

解题步骤 6

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

解题步骤 10.2

计算 $7 x$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64 + 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.7

将 $64$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{65}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.8

组合 $7$ 和 $\frac{65}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{7 \cdot 65}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.9

将 $7$ 乘以 $65$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.10

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 - 7 \cdot - 1)$

解题步骤 10.3.11

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 + 7)$

解题步骤 10.3.12

将 $28$ 和 $7$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35)$

解题步骤 10.3.13

要将 $35$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 10.3.14

组合 $35$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + \frac{35 \cdot 3}{3})$

解题步骤 10.3.15

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 35 \cdot 3}{3})$

解题步骤 10.3.16

化简分子。

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解题步骤 10.3.16.1

将 $35$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 105}{3})$

解题步骤 10.3.16.2

将 $455$ 和 $105$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{560}{3})$

解题步骤 11

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{560}{3}$

解题步骤 12

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $560$ 中分解出因数 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (112)}{3}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 112}{3}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{112}{3}$

解题步骤 13

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