微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ , $[1, 2]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

解题步骤 10

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 \int_{1}^{2} x d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

解题步骤 12.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4

化简。

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解题步骤 12.2.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.4

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.6

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.7

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.8

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.9

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.9.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.9.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.11

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 \frac{8 - 1}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.13

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{7}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.14

组合 $- 4$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 4 \cdot 7}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.15

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.16

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.17

要将 $\frac{15}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.18

要将 $- \frac{28}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 12.2.4.19.1

将 $\frac{15}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.19.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.19.3

将 $\frac{28}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.19.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.20

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.21

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.21.1

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.21.2

将 $- 28$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 112}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.21.3

从 $45$ 中减去 $112$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.22

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.23

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.24

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.24.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.24.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.24.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.24.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.24.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.24.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.4.25

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1}{2}))$

解题步骤 12.2.4.26

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 12.2.4.27

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 12.2.4.28

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}))$

解题步骤 12.2.4.29

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.29.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4 - 1}{2}))$

解题步骤 12.2.4.29.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 12.2.4.30

组合 $5$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{5 \cdot 3}{2})$

解题步骤 12.2.4.31

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2})$

解题步骤 12.2.4.32

要将 $\frac{15}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{6})$

解题步骤 12.2.4.33

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 12.2.4.33.1

将 $\frac{15}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 6})$

解题步骤 12.2.4.33.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{12})$

解题步骤 12.2.4.34

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 15 \cdot 6}{12})$

解题步骤 12.2.4.35

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.35.1

将 $15$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 90}{12})$

解题步骤 12.2.4.35.2

将 $- 67$ 和 $90$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{23}{12})$

解题步骤 13

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

解题步骤 14

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot \frac{23}{12}$

解题步骤 15

将 $\frac{23}{12}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{23}{12}$

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例