微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 7$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{2} - 7 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 7 d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 7 d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + - 7 x]_{0}^{1})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ 和 $- 7 x]_{0}^{1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 7 x]_{0}^{1})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 1 - 7 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} - 7 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} - 7 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.4

要将 $- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.5

组合 $- 7$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1 - 7 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.7.1

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1 - 21}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.7.2

从 $1$ 中减去 $21$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{- 20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.8

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} - (0 - 7 \cdot 0))$

解题步骤 8.2.2.11

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} - (0 + 0))$

解题步骤 8.2.2.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} - 0)$

解题步骤 8.2.2.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3} + 0)$

解题步骤 8.2.2.14

将 $- \frac{20}{3}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \frac{20}{3})$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- \frac{20}{3})$

解题步骤 9.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{20}{3})$

解题步骤 10

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 10.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{20}{3})$

解题步骤 10.1.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{20}{3})$

解题步骤 10.2

将 $- \frac{20}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = - \frac{20}{3}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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