微积分学示例

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[4, 9]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = 6 \sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[4, 9]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.5

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.6

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.6.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.6.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.9.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.9.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

解题步骤 8.2.2.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

解题步骤 8.2.2.11

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

解题步骤 8.2.2.12

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

解题步骤 8.2.2.13

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

解题步骤 8.2.2.14

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

解题步骤 8.2.2.15

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.15.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

解题步骤 8.2.2.15.2

从 $54$ 中减去 $16$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

解题步骤 8.2.2.16

组合 $6$ 和 $\frac{38}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

解题步骤 8.2.2.17

将 $6$ 乘以 $38$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

解题步骤 8.2.2.18

约去 $228$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.18.1

从 $228$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

解题步骤 8.2.2.18.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.18.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

解题步骤 8.2.2.18.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.2.18.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

解题步骤 8.2.2.18.2.4

用 $76$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

解题步骤 9

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $76$ 。

$A (x) = \frac{76}{5}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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