微积分学示例

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = 5 \csc (x)$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\csc (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

解题步骤 6

$\csc (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

计算 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

解题步骤 7.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.2

化简分子。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\csc (2 π)$ 重写为正弦和余弦形式。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.2.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.3

化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\csc (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.4

约去 $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.4.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

解题步骤 7.3.4.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

解题步骤 7.3.5

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

解题步骤 7.3.6

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

解题步骤 8.2

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{2 π}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = 0$

解题步骤 10

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