微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} - x$ , $[- 1, 4]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} - x d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} x d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}))$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

解题步骤 11.2

代入并化简。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

解题步骤 11.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3

化简。

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解题步骤 11.2.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64 + 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.7

将 $64$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{65}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.8

组合 $3$ 和 $\frac{65}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.9

将 $3$ 乘以 $65$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{195}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.10

约去 $195$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.10.1

从 $195$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.10.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.10.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.10.2.4

用 $65$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.12

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.12.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.12.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.12.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.12.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

解题步骤 11.2.3.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{1}{2}))$

解题步骤 11.2.3.14

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 11.2.3.15

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

解题步骤 11.2.3.16

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2})$

解题步骤 11.2.3.17

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.17.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{16 - 1}{2})$

解题步骤 11.2.3.17.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{15}{2})$

解题步骤 11.2.3.18

要将 $65$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2})$

解题步骤 11.2.3.19

组合 $65$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2})$

解题步骤 11.2.3.20

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2 - 15}{2})$

解题步骤 11.2.3.21

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.21.1

将 $65$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{130 - 15}{2})$

解题步骤 11.2.3.21.2

从 $130$ 中减去 $15$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{115}{2})$

解题步骤 12

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{115}{2}$

解题步骤 13

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $115$ 中分解出因数 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (23)}{2}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 23}{2}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{23}{2}$

解题步骤 14

微积分学 示例

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