微积分学示例

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

解题步骤 8

使 $u = - 0.04 x$ 。然后使 $d u = - 0.04 d x$ ，以便 $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - 0.04 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 0.04 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 0.04$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.04 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.04 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $- 0.04$ 乘以 $1$ 。

$- 0.04$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = - 0.04 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

解题步骤 8.3

将 $- 0.04$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = - 0.04 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

解题步骤 8.5

将 $- 0.04$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = - 0.2$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

解题步骤 9.2

组合 ${2.71828182}^{u}$ 和 $\frac{1}{0.04}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{0.04}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.04}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{0.04}$ 和 $- 8$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

解题步骤 13.2

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

解题步骤 14

${2.71828182}^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ 和 $\frac{8}{0.04}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

解题步骤 15.2

将 $8$ 移到 $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ 的左侧。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

解题步骤 16

代入并化简。

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解题步骤 16.1

计算 $29 x$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

解题步骤 16.2

计算 $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ 在 $- 0.2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3

化简。

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解题步骤 16.3.1

将 $29$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.2

将 $- 29$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.3

将 $145$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.5

对 $2.71828182$ 进行 $0.2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.6

将 $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ 重写为乘积形式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.7

将 $\frac{1}{1.22140275}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.8

将 $1.22140275$ 乘以 $\ln (2.71828182)$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 16.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1.1

用 $1$ 除以 $1.22140275$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.2

要将 $0.81873075$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.4

化简分子。

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解题步骤 17.1.1.4.1

将 $0.81873075$ 乘以 $\ln (2.71828182)$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.4.2

从 $0.81873075$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.6

使用近似值替换 $e$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.7

$2.71828182$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $0.99999999$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.8

用 $0.18126924$ 除以 $0.99999999$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

解题步骤 17.1.1.9

将 $- 1$ 乘以 $0.18126924$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

解题步骤 17.1.2

将 $8$ 乘以 $- 0.18126924$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

解题步骤 17.1.3

用 $- 1.45015397$ 除以 $0.04$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

解题步骤 17.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36.25384939$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

解题步骤 17.2

将 $145$ 和 $36.25384939$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

解题步骤 18

化简分母。

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解题步骤 18.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

解题步骤 18.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

解题步骤 19

合并分数。

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解题步骤 19.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $181.25384939$ 。

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

解题步骤 19.2

用 $181.25384939$ 除以 $5$ 。

$A (x) = 36.25076987$

解题步骤 20

微积分学 示例

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