微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2$ , $[- 4, 0]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 4, 0]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

解题步骤 12.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

解题步骤 12.3

计算 $2 x$ 在 $0$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4

化简。

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解题步骤 12.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.3

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot - 64) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.4

将 $- 64$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + 64 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.5

组合 $64$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + \frac{64}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.6

将 $0$ 和 $\frac{64}{3}$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{64}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.9

约去 $64$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.9.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 (32)}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 12.4.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.9.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.9.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 12.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.11.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.11.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.12

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{16}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.13

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.13.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 12.4.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.13.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.13.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{8}{1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.13.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 1 \cdot 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.14

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.15

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 \cdot - 8 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.16

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.17

要将 $- 16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.18

组合 $- 16$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.19

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.20

化简分子。

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解题步骤 12.4.20.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 48}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.20.2

从 $32$ 中减去 $48$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.21

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.22

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 - 2 \cdot - 4)$

解题步骤 12.4.23

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 + 8)$

解题步骤 12.4.24

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8)$

解题步骤 12.4.25

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 12.4.26

组合 $8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})$

解题步骤 12.4.27

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3})$

解题步骤 12.4.28

化简分子。

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解题步骤 12.4.28.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 24}{3})$

解题步骤 12.4.28.2

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{8}{3})$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$

解题步骤 14

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{3}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{3}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{2}{3}$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例