微积分学示例

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

解题步骤 5

展开 ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.5

移动 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.6

移动 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.7

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.9

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.10

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.11

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

解题步骤 5.12

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

解题步骤 5.13

将 $9 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 7

由于 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $81$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 10

由于 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $18$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 14.3

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.5

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.8

组合 $81$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.9

将 $81$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.10

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.12

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.15

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.17

组合 $18$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.18

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.19

约去 $36$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.19.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.19.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.19.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.19.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.20

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.21

组合 $12$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.22

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.23

化简分子。

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解题步骤 14.4.23.1

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.23.2

将 $162$ 和 $60$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

解题步骤 14.4.24

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

解题步骤 14.4.25

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 14.4.26

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

解题步骤 14.4.27

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

解题步骤 14.4.28

化简分子。

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解题步骤 14.4.28.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

解题步骤 14.4.28.2

将 $222$ 和 $10$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

解题步骤 15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

解题步骤 16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $232$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{116}{5}$

解题步骤 17

微积分学 示例

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