微积分学示例

$f (x) = 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5$ , $[0, 5]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 6

由于 $0.1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $0.1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 9

由于 $1.5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $1.5$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

解题步骤 13.3

计算 $5.5 x$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} + 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.5

将 $\frac{125}{3}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.6

组合 $0.1$ 和 $\frac{125}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{0.1 \cdot 125}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.7

将 $0.1$ 乘以 $125$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.10

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.10.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.10.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} + 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.12

将 $\frac{25}{2}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.13

组合 $1.5$ 和 $\frac{25}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{1.5 \cdot 25}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.14

将 $1.5$ 乘以 $25$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.15

要将 $\frac{12.5}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.16

要将 $\frac{37.5}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.17

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 13.4.17.1

将 $\frac{12.5}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.17.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.17.3

将 $\frac{37.5}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.17.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.18

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.19

将 $12.5$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.20

将 $37.5$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 112.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.21

将 $25$ 和 $112.5$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.22

将 $5.5$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 - 5.5 \cdot 0)$

解题步骤 13.4.23

将 $- 5.5$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 + 0)$

解题步骤 13.4.24

将 $27.5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5)$

解题步骤 13.4.25

要将 $27.5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 \cdot \frac{6}{6})$

解题步骤 13.4.26

组合 $27.5$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + \frac{27.5 \cdot 6}{6})$

解题步骤 13.4.27

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 27.5 \cdot 6}{6})$

解题步骤 13.4.28

将 $27.5$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 165}{6})$

解题步骤 13.4.29

将 $137.5$ 和 $165$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{302.5}{6})$

解题步骤 14

用 $302.5$ 除以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (50.41\overline{6})$

解题步骤 15

化简分母。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 50.41\overline{6}$

解题步骤 15.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 50.41\overline{6}$

解题步骤 16

合并分数。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $50.41\overline{6}$ 。

$A (x) = \frac{50.41\overline{6}}{5}$

解题步骤 16.2

用 $50.41\overline{6}$ 除以 $5$ 。

$A (x) = 10.08\overline{3}$

解题步骤 17

微积分学 示例

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