微积分学示例

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.4

移动 $x$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

解题步骤 5.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

解题步骤 5.11

从 $8 x$ 中减去 $1 x$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 10

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

解题步骤 14.3

计算 $- 4 x$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.2

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.4

从 $125$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.5

组合 $2$ 和 $\frac{124}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.6

将 $2$ 乘以 $124$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.8

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.9

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.10

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.11

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.11.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.11.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.11.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.11.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.12

将 $7$ 乘以 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.13

要将 $84$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.14

组合 $84$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.15

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.16

化简分子。

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解题步骤 14.4.16.1

将 $84$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.16.2

将 $248$ 和 $252$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.17

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

解题步骤 14.4.18

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

解题步骤 14.4.19

将 $- 20$ 和 $4$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

解题步骤 14.4.20

要将 $- 16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 14.4.21

组合 $- 16$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

解题步骤 14.4.22

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

解题步骤 14.4.23

化简分子。

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解题步骤 14.4.23.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

解题步骤 14.4.23.2

从 $500$ 中减去 $48$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

解题步骤 15

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

解题步骤 16

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $452$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{113}{3}$

解题步骤 17

微积分学 示例

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