微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Step 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[1, 1]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \sqrt{x}$ 的定义域。

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将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

Step 2

$f (x)$ 在 $[1, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

Step 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Step 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 1} (\int_{1}^{1} \sqrt{x} d x)$

Step 5

由于边界相同，所以定积分的值为 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 1} (0)$

Step 6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{0} \cdot 0$

Step 7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$