微积分学示例

$f (x) = - t^{2} + 2 t + 31$ , $[0, 10]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 10]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} - t^{2} + 2 t + 31 d x)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} ((- t^{2} + 2 t + 31) x]_{0}^{10})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $(- t^{2} + 2 t + 31) x$ 在 $10$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (((- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 10) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $10$ 移到 $- t^{2} + 2 t + 31$ 的左侧。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 \cdot (- t^{2} + 2 t + 31) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0 (- t^{2} + 2 t + 31))$

解题步骤 6.2.3

将 $0$ 乘以 $- t^{2} + 2 t + 31$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0)$

解题步骤 6.2.4

将 $10 (- t^{2} + 2 t + 31)$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2}) + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 10 \cdot 31)$

解题步骤 7.2.3

将 $10$ 乘以 $31$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

解题步骤 8.2

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

解题步骤 9

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2}) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

从 $- 10 t^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.1.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.1.3

重写表达式。

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.2

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $20 t$ 中分解出因数 $10$ 。

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot 310$

解题步骤 10.3

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $310$ 中分解出因数 $10$ 。

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 (31))$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 31)$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$A (x) = - t^{2} + 2 t + 31$

解题步骤 11

微积分学 示例

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