微积分学示例

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{8}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

解题步骤 5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

解题步骤 8.2.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 8.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 8.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

解题步骤 8.2.5

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

解题步骤 8.2.6

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 8.2.7

组合 $8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

解题步骤 8.2.8

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

解题步骤 8.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

解题步骤 8.2.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

解题步骤 8.2.8.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

解题步骤 9

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

解题步骤 10.2

重写表达式。

$A (x) = 1$

解题步骤 11

微积分学 示例

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