微积分学示例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ , $[- 3, 3]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\frac{4}{x^{2} + 9}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 1.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 1.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 1.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 1.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 1.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} \frac{4}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $x^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

解题步骤 6.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 7

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}))$

解题步骤 8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{x}{3})$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{- 3}^{3}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ 在 $3$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

解题步骤 8.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.1.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{3}))$

解题步骤 8.2.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (- 1)}{3}))$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{3}))$

解题步骤 9.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{3}))$

解题步骤 9.2.2

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

解题步骤 9.2.3

乘以 $- - \frac{π}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{3}))$

解题步骤 9.2.3.2

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π + π}{4}}{3}))$

解题步骤 9.4

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{4}}{3}))$

解题步骤 9.5

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{3}))$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

解题步骤 9.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{2}}{3}))$

解题步骤 9.6

将分子乘以分母的倒数。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}))$

解题步骤 9.7

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.7.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 9.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.8

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (2) (\frac{π}{6}))$

解题步骤 9.8.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

解题步骤 9.8.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

解题步骤 9.8.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (\frac{π}{3}))$

解题步骤 9.9

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 10

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 11

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 11.2

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

解题步骤 11.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 π}{3}$

解题步骤 11.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{3}$

解题步骤 12

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$A (x) = \frac{π}{3 \cdot 3}$

解题步骤 13

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{π}{9}$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例