微积分学示例

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

解题步骤 7

乘以 $(x + 1) x^{- 2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

解题步骤 10

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ 和 $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\ln (| x |) - x^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2

化简。

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解题步骤 12.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

解题步骤 12.2.2.3

要将 $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

解题步骤 12.2.2.4

组合 $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

解题步骤 12.2.2.5

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

解题步骤 12.2.2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.2

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.3

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.4

化简分子。

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解题步骤 13.1.4.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.4.2

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.4.3.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

解题步骤 13.1.4.3.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

解题步骤 13.1.4.3.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

解题步骤 13.1.4.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

解题步骤 13.1.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

解题步骤 13.2

要将 $2 \ln (2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

解题步骤 13.3

组合 $2 \ln (2)$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

解题步骤 13.4

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

解题步骤 13.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

解题步骤 13.5.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

解题步骤 13.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

解题步骤 13.7

从 $8 \ln (2)$ 中减去 $4 \ln (2)$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

解题步骤 14

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (2)$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

解题步骤 15.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

解题步骤 16

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 17

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (16)$ 。

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

解题步骤 19

化简每一项。

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解题步骤 19.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

解题步骤 19.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

解题步骤 19.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.1

约去公因数。

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

解题步骤 19.3.2

重写表达式。

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

解题步骤 19.4

计算指数。

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

解题步骤 20

微积分学 示例

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