微积分学示例

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

解题步骤 7

乘以 $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.2

化简 $x^{0}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

解题步骤 8.3

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $x]_{1}^{3}$ 和 $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $x - x^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2

化简。

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解题步骤 12.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.4

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 12.2.2.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.5.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

解题步骤 12.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

解题步骤 12.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

解题步骤 12.2.2.8

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

解题步骤 12.2.2.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

解题步骤 12.2.2.10

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

解题步骤 12.2.2.11

组合 $4$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

解题步骤 12.2.2.12

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

解题步骤 13

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

解题步骤 14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{16}{3}$

解题步骤 15

微积分学 示例

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