微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 11]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 9

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $11$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $11$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

解题步骤 13.3

计算 $5 x$ 在 $11$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $11$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.7

将 $1331$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.8

约去 $1332$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.8.1

从 $1332$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.8.2.4

用 $444$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.9

将 $2$ 乘以 $444$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.10

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.11

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.13

从 $121$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.14

约去 $120$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.14.1

从 $120$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.14.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.14.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.14.2.4

用 $60$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.15

将 $- 4$ 乘以 $60$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.16

从 $888$ 中减去 $240$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.17

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

解题步骤 13.4.18

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

解题步骤 13.4.19

将 $55$ 和 $5$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

解题步骤 13.4.20

将 $648$ 和 $60$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

解题步骤 14

将 $11$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

解题步骤 15

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

从 $708$ 中分解出因数 $12$ 。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

解题步骤 15.3

重写表达式。

$A (x) = 59$

解题步骤 16

微积分学 示例

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