微积分学示例

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 1.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 1.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 5

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 6

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 4 + 1$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 5$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 + 1$

解题步骤 6.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $15$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\ln (| u |)$ 在 $5$ 处和在 $5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

从 $\ln (| 5 |)$ 中减去 $\ln (| 5 |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

解题步骤 11.2.2

将 $\frac{15}{2}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

解题步骤 12

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 13

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = 0$

解题步骤 14

微积分学 示例

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