微积分学示例

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 9]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{10}{x + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 9]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

解题步骤 5

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 6

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 9 + 1$

解题步骤 6.5

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 10$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

解题步骤 8

计算 $\ln (| u |)$ 在 $10$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 9

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $10$ 之间的距离为 $10$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

解题步骤 10.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

解题步骤 10.3

用 $10$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

解题步骤 11.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

解题步骤 12

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $10 \ln (10)$ 。

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

解题步骤 13

对 $10$ 进行 $10$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

解题步骤 14

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ 。

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

解题步骤 15

微积分学 示例

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