微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1}$

区间计数法：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 1}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 5

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 - 1$

解题步骤 5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 - 1$

解题步骤 5.5

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

解题步骤 7

计算 $\ln (| u |)$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

解题步骤 9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

解题步骤 9.3

用 $3$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

解题步骤 10

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

解题步骤 11

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (3)$ 。

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 12

微积分学 示例

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