微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[4, 6]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[4, 6]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[4, 6]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\int_{4}^{6} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| x |)]_{4}^{6})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $6$ 处和在 $4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |))$

解题步骤 6.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}))$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{| 4 |}))$

解题步骤 6.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{4}))$

解题步骤 6.3.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 (3)}{4}))$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{3}{2}))$

解题步骤 7

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ 。

$A (x) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$A (x) = \ln (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 10

微积分学 示例

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