微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 6}$

区间计数法：

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 6}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

解题步骤 5

使 $u = x - 6$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x - 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x - 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 6$

解题步骤 5.3

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$u_{lower} = - 6$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = x - 6$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 6$

解题步骤 5.5

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

解题步骤 6.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 6$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

解题步骤 8.2.2

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

解题步骤 8.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

解题步骤 8.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

解题步骤 8.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

解题步骤 8.2.6

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

解题步骤 8.2.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

解题步骤 8.2.8

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

解题步骤 8.2.9

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

解题步骤 9.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

解题步骤 10

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

解题步骤 10.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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