微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.3

因为 $110$ 对于 $x$ 是常数，所以 $110$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $1014$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1014}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1014$ 。

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $2 x - 20$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

组合 $- 1014$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1014$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1014}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 1014$ 。

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

解题步骤 2.4

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $2028$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2 + \frac{2028}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.3

因为 $110$ 对于 $x$ 是常数，所以 $110$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1014$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1014}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.1.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 4.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

解题步骤 4.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1014$ 。

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2

合并项。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $2 x - 20$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2.2

组合 $- 1014$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.5.3

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ 。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 5.3

将 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1014}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.1.1.2

从 $- 1014$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.1.1.3

从 $- 20 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.1.1.4

从 $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.1.1.5

从 $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.4.1.2

重新排序项。

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

解题步骤 5.4.1.3

因数。

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解题步骤 5.4.1.3.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.4.1.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

解题步骤 5.4.1.3.1.3

代入 $13$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $13$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.4.1.3.1.3.1

将 $13$ 代入多项式。

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

解题步骤 5.4.1.3.1.3.2

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

解题步骤 5.4.1.3.1.3.3

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

解题步骤 5.4.1.3.1.3.4

将 $- 10$ 乘以 $169$ 。

$2197 - 1690 - 507$

解题步骤 5.4.1.3.1.3.5

从 $2197$ 中减去 $1690$ 。

$507 - 507$

解题步骤 5.4.1.3.1.3.6

从 $507$ 中减去 $507$ 。

$0$

解题步骤 5.4.1.3.1.4

因为 $13$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 13$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

解题步骤 5.4.1.3.1.5

用 $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ 除以 $x - 13$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 13 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - 39 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $39 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $39 x - 507$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

解题步骤 5.4.1.3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 3 x + 39$

解题步骤 5.4.1.3.1.6

将 $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ 书写为因数的集合。

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

解题步骤 5.4.1.3.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

解题步骤 5.4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

解题步骤 5.4.3

将 $x - 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $x - 13$ 设为等于 $0$ 。

$x - 13 = 0$

解题步骤 5.4.3.2

在等式两边都加上 $13$ 。

$x = 13$

解题步骤 5.4.4

将 $x^{2} + 3 x + 39$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.4.1

将 $x^{2} + 3 x + 39$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

解题步骤 5.4.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.4.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 39$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3

化简。

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解题步骤 5.4.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.4.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $39$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $156$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.4

将 $- 147$ 重写为 $- 1 (147)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (147)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.7

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.3.1.7.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.1.9

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.4.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.4.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $39$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $156$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.4

将 $- 147$ 重写为 $- 1 (147)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (147)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.7

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.4.1.7.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.1.9

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4.5

从 $7 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4.6

从 $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.4.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.4.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $39$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $156$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.4

将 $- 147$ 重写为 $- 1 (147)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (147)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.7

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.4.4.2.5.1.7.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.1.9

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5.5

从 $- 7 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5.6

从 $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5.4.5

最终解为使 $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ 成立的所有值。

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1014}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 13$

解题步骤 8

计算在 $x = 13$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2028}{2197} + 2$

解题步骤 9.1.2

约去 $2028$ 和 $2197$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $2028$ 中分解出因数 $169$ 。

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

解题步骤 9.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

解题步骤 9.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{12}{13} + 2$

解题步骤 9.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{13}{13}$ 。

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

解题步骤 9.3

组合 $2$ 和 $\frac{13}{13}$ 。

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 $2$ 乘以 $13$ 。

$\frac{12 + 26}{13}$

解题步骤 9.5.2

将 $12$ 和 $26$ 相加。

$\frac{38}{13}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 13$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 13$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 13$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $13$ 替换变量 $x$ 。

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 20$ 乘以 $13$ 。

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

解题步骤 11.2.1.3

用 $1014$ 除以 $13$ 。

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $169$ 中减去 $260$ 。

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 91$ 和 $110$ 相加。

$f (13) = 19 + 78$

解题步骤 11.2.2.3

将 $19$ 和 $78$ 相加。

$f (13) = 97$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $97$ 。

$y = 97$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ 的局部极值。

$(13, 97)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例