微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.6

在公分母上合并分子。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.8

将负号移到分数的前面。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.10

组合 $- 32$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.12

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.13.2

约去公因数。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.13.3

重写表达式。

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.14

将负号移到分数的前面。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.3.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.3.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 2.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 2.3.13.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.13.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.13.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 2 - 16 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.3.16

组合 $16$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.17

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.18

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.18.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.3.18.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3.18.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 32 \sqrt{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.6

在公分母上合并分子。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.10

组合 $- 32$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.12

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.13.2

约去公因数。

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.13.3

重写表达式。

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2.14

将负号移到分数的前面。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3

将 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.2.1

将 $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0$

解题步骤 5.4

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} = 16$

解题步骤 5.4.2

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1

化简 ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1

对 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.2.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.2.3.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.2.3.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.3

化简。

$2^{\frac{2}{3}} x = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将 $2^{\frac{2}{3}} x$ 中的因式重新排序。

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.4

将 $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ 中的每一项除以 $2^{\frac{2}{3}}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.1

将 $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ 中的每一项都除以 $2^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.4.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.3.1

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.4.3.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.3.2.1

用 $16$ 除以 $2$ 。

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.4.3.2.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.4.3.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 5.4.4.3.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.4.3.3.1

约去公因数。

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 5.4.4.3.3.2

重写表达式。

$x = 2^{2}$

解题步骤 5.4.4.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 4$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{16}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 6.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 4, 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 + \frac{8}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 + \frac{8}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.3.1

约去公因数。

$2 + \frac{8}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.1.3.2

重写表达式。

$2 + \frac{8}{2^{3}}$

解题步骤 9.1.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 + \frac{8}{8}$

解题步骤 9.1.2

用 $8$ 除以 $8$ 。

$2 + 1$

解题步骤 9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 4$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = {(4)}^{2} - 32 \sqrt{4} - 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{4} - 1$

解题步骤 11.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (4) = 16 - 32 \sqrt{2^{2}} - 1$

解题步骤 11.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = 16 - 32 \cdot 2 - 1$

解题步骤 11.2.1.4

将 $- 32$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = 16 - 64 - 1$

解题步骤 11.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$f (4) = - 48 - 1$

解题步骤 11.2.2.2

从 $- 48$ 中减去 $1$ 。

$f (4) = - 49$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 49$ 。

$y = - 49$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 + \frac{8}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$2 + \frac{8}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$2 + \frac{8}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$2 + \frac{8}{0^{3}}$

解题步骤 13.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 + \frac{8}{0}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例