微积分学示例

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ 。

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 ${(x - 5)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.2.7

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

解题步骤 1.3.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

解题步骤 1.3.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

解题步骤 1.3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 {(x - 1)}^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

解题步骤 1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.3.6.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

解题步骤 1.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

解题步骤 1.3.11

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

解题步骤 1.3.12

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

解题步骤 1.4

从 $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

从 $5 {(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

解题步骤 1.4.2

从 $25 {(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

解题步骤 1.4.3

从 $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 5$ 。

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 {(x - 1)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

解题步骤 2.4.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

解题步骤 2.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 2.5.5.2

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

解题步骤 2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

解题步骤 2.6.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

解题步骤 2.6.3

将 $20$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 2.6.4

从 $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $20$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.4.1

从 $20 {(x - 5)}^{3}$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 2.6.4.2

从 $100 {(x - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

解题步骤 2.6.4.3

从 $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例