微积分学示例

$f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ 。

$x^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}] + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$x^{6} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.4.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

解题步骤 1.3.6

将 $6$ 移到 ${(x - 3)}^{5}$ 的左侧。

$x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot {(x - 3)}^{5} x^{5}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

解题步骤 1.4.1.2

从 $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

解题步骤 1.4.1.3

从 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

解题步骤 1.4.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

化简项。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 x + 6 \cdot - 3))$

解题步骤 2.1.1.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 x - 18))$

解题步骤 2.1.2

将 $5 x$ 和 $6 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4} (11 x - 18))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 且 $g (x) = 11 x - 18$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (11 x - 18) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $11 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (11 x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (11 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.4

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (11 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (11 + 0) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $11$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} \cdot 11 + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.3.6.2

将 $11$ 移到 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = 11 \cdot (x^{5} {(x - 3)}^{4}) + (11 x - 18) \frac{d}{d x} (x^{5} {(x - 3)}^{4})$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = {(x - 3)}^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.5.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6.4

化简表达式。

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解题步骤 2.6.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3} \cdot 1) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{5}))$

解题步骤 2.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{4} (5 x^{4}))$

解题步骤 2.6.6

将 $5$ 移到 ${(x - 3)}^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 \cdot ({(x - 3)}^{4} x^{4}))$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

从 $11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

从 $11 x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $1$ 。

$f'' (x) = 1 (11 x^{5} {(x - 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.1.2

从 $(11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$ 中分解出因数 $1$ 。

$f'' (x) = 1 (11 x^{5} {(x - 3)}^{4}) + 1 ((11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4}))$

解题步骤 2.7.1.3

从 $1 (11 x^{5} {(x - 3)}^{4}) + 1 ((11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4}))$ 中分解出因数 $1$ 。

$f'' (x) = 1 (11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4}))$

解题步骤 2.7.2

将 $11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} {(x - 3)}^{4} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.1

使用二项式定理。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2.3

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2.5

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.2.6

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{5} (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = 11 x^{5} x^{4} + 11 x^{5} (- 12 x^{3}) + 11 x^{5} (54 x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4

化简。

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解题步骤 2.7.3.4.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.4.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 (x^{4} x^{5}) + 11 x^{5} (- 12 x^{3}) + 11 x^{5} (54 x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{4 + 5} + 11 x^{5} (- 12 x^{3}) + 11 x^{5} (54 x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.1.3

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 x^{5} (- 12 x^{3}) + 11 x^{5} (54 x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{5} x^{3}) + 11 x^{5} (54 x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{5} x^{3}) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 x^{5} (- 108 x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{5} x^{3}) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 11 x^{5} \cdot 81 + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.4.5

将 $81$ 乘以 $11$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{5} x^{3}) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.5.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.7.3.5.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 (x^{3} x^{5})) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{3 + 5}) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.1.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} + 11 \cdot (- 12 x^{8}) + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.2

将 $11$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 11 \cdot (54 x^{5} x^{2}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.3.5.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 11 \cdot (54 (x^{2} x^{5})) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 11 \cdot (54 x^{2 + 5}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.3.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 11 \cdot (54 x^{7}) + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.4

将 $11$ 乘以 $54$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} + 11 \cdot (- 108 x^{5} x) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.5

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.5.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} + 11 \cdot (- 108 (x \cdot x^{5})) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.7.3.5.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} + 11 \cdot (- 108 (x \cdot x^{5})) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} + 11 \cdot (- 108 x^{1 + 5}) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.5.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} + 11 \cdot (- 108 x^{6}) + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.5.6

将 $11$ 乘以 $- 108$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (x^{5} (4 {(x - 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.2

使用二项式定理。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.3

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.6.3.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.3.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} (x^{3} - 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.3.3

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x + {(- 3)}^{3}) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.3.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.4

运用分配律。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{5} x^{3} + 4 x^{5} (- 9 x^{2}) + 4 x^{5} (27 x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5

化简。

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解题步骤 2.7.3.6.5.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.5.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 (x^{3} x^{5}) + 4 x^{5} (- 9 x^{2}) + 4 x^{5} (27 x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{3 + 5} + 4 x^{5} (- 9 x^{2}) + 4 x^{5} (27 x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5.1.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 x^{5} (- 9 x^{2}) + 4 x^{5} (27 x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 x^{5} x^{2}) + 4 x^{5} (27 x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 x^{5} x^{2}) + 4 \cdot (27 x^{5} x) + 4 x^{5} \cdot - 27 + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.5.4

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 x^{5} x^{2}) + 4 \cdot (27 x^{5} x) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.6.6.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 (x^{2} x^{5})) + 4 \cdot (27 x^{5} x) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 x^{2 + 5}) + 4 \cdot (27 x^{5} x) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.1.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} + 4 \cdot (- 9 x^{7}) + 4 \cdot (27 x^{5} x) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.2

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 4 \cdot (27 x^{5} x) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.6.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 4 \cdot (27 (x \cdot x^{5})) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 4 \cdot (27 (x \cdot x^{5})) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 4 \cdot (27 x^{1 + 5}) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 4 \cdot (27 x^{6}) - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.6.4

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 {(x - 3)}^{4} x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.7

使用二项式定理。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.6.8.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8.3

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8.5

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.8.6

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.9

运用分配律。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + (5 x^{4} + 5 (- 12 x^{3}) + 5 (54 x^{2}) + 5 (- 108 x) + 5 \cdot 81) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.10

化简。

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解题步骤 2.7.3.6.10.1

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + (5 x^{4} - 60 x^{3} + 5 (54 x^{2}) + 5 (- 108 x) + 5 \cdot 81) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.10.2

将 $54$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + (5 x^{4} - 60 x^{3} + 270 x^{2} + 5 (- 108 x) + 5 \cdot 81) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.10.3

将 $- 108$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + (5 x^{4} - 60 x^{3} + 270 x^{2} - 540 x + 5 \cdot 81) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.10.4

将 $5$ 乘以 $81$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + (5 x^{4} - 60 x^{3} + 270 x^{2} - 540 x + 405) x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.11

运用分配律。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{4} x^{4} - 60 x^{3} x^{4} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12

化简。

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解题步骤 2.7.3.6.12.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.12.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 (x^{4} x^{4}) - 60 x^{3} x^{4} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{4 + 4} - 60 x^{3} x^{4} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{3} x^{4} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.12.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 (x^{4} x^{3}) + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{4 + 3} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.2.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{2} x^{4} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.12.3.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 (x^{4} x^{2}) - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{4 + 2} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.3.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 x \cdot x^{4} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.12.4.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 (x^{4} x) + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.4.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.6.12.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 (x^{4} x) + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 x^{4 + 1} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.6.12.4.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (4 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 5 x^{8} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 x^{5} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.7

将 $4 x^{8}$ 和 $5 x^{8}$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (9 x^{8} - 36 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} - 60 x^{7} + 270 x^{6} - 540 x^{5} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.8

从 $- 36 x^{7}$ 中减去 $60 x^{7}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (9 x^{8} - 96 x^{7} + 108 x^{6} - 108 x^{5} + 270 x^{6} - 540 x^{5} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.9

将 $108 x^{6}$ 和 $270 x^{6}$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (9 x^{8} - 96 x^{7} + 378 x^{6} - 108 x^{5} - 540 x^{5} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.10

从 $- 108 x^{5}$ 中减去 $540 x^{5}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + (11 x - 18) (9 x^{8} - 96 x^{7} + 378 x^{6} - 648 x^{5} + 405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(11 x - 18) (9 x^{8} - 96 x^{7} + 378 x^{6} - 648 x^{5} + 405 x^{4})$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 11 x (9 x^{8}) + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 11 \cdot (9 x \cdot x^{8}) + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.2.1

移动 $x^{8}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 11 \cdot (9 (x^{8} x)) + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.2.2

将 $x^{8}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.7.3.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 11 \cdot (9 x^{8 + 1}) + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 11 \cdot (9 x^{9}) + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.3

将 $11$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} + 11 x (- 96 x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} + 11 \cdot (- 96 x \cdot x^{7}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.5.1

移动 $x^{7}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} + 11 \cdot (- 96 (x^{7} x)) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.5.2

将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.7.3.12.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} + 11 \cdot (- 96 x^{7 + 1}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.5.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} + 11 \cdot (- 96 x^{8}) + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.6

将 $11$ 乘以 $- 96$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 11 x (378 x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.7

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 11 \cdot (378 x \cdot x^{6}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.8.1

移动 $x^{6}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 11 \cdot (378 (x^{6} x)) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.8.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.7.3.12.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 11 \cdot (378 x^{6 + 1}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.8.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 11 \cdot (378 x^{7}) + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.9

将 $11$ 乘以 $378$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} + 11 x (- 648 x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.10

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} + 11 \cdot (- 648 x \cdot x^{5}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.11.1

移动 $x^{5}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} + 11 \cdot (- 648 (x^{5} x)) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.11.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.7.3.12.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} + 11 \cdot (- 648 x^{5 + 1}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.11.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} + 11 \cdot (- 648 x^{6}) + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.12

将 $11$ 乘以 $- 648$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 11 x (405 x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.13

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 11 \cdot (405 x \cdot x^{4}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.14

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.14.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 11 \cdot (405 (x^{4} x)) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.14.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.12.14.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.7.3.12.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 11 \cdot (405 x^{4 + 1}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.14.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 11 \cdot (405 x^{5}) - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.15

将 $11$ 乘以 $405$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 18 (9 x^{8}) - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.16

将 $9$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 162 x^{8} - 18 (- 96 x^{7}) - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.17

将 $- 96$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 162 x^{8} + 1728 x^{7} - 18 (378 x^{6}) - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.18

将 $378$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 162 x^{8} + 1728 x^{7} - 6804 x^{6} - 18 (- 648 x^{5}) - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.19

将 $- 648$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 162 x^{8} + 1728 x^{7} - 6804 x^{6} + 11664 x^{5} - 18 (405 x^{4})$

解题步骤 2.7.3.12.20

将 $405$ 乘以 $- 18$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1056 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 162 x^{8} + 1728 x^{7} - 6804 x^{6} + 11664 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.3.13

从 $- 1056 x^{8}$ 中减去 $162 x^{8}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1218 x^{8} + 4158 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} + 1728 x^{7} - 6804 x^{6} + 11664 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.3.14

将 $4158 x^{7}$ 和 $1728 x^{7}$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1218 x^{8} + 5886 x^{7} - 7128 x^{6} + 4455 x^{5} - 6804 x^{6} + 11664 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.3.15

从 $- 7128 x^{6}$ 中减去 $6804 x^{6}$ 。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1218 x^{8} + 5886 x^{7} - 13932 x^{6} + 4455 x^{5} + 11664 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.3.16

将 $4455 x^{5}$ 和 $11664 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = 11 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 99 x^{9} - 1218 x^{8} + 5886 x^{7} - 13932 x^{6} + 16119 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.4

将 $11 x^{9}$ 和 $99 x^{9}$ 相加。

$f'' (x) = 110 x^{9} - 132 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} - 1218 x^{8} + 5886 x^{7} - 13932 x^{6} + 16119 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.5

从 $- 132 x^{8}$ 中减去 $1218 x^{8}$ 。

$f'' (x) = 110 x^{9} - 1350 x^{8} + 594 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} + 5886 x^{7} - 13932 x^{6} + 16119 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.6

将 $594 x^{7}$ 和 $5886 x^{7}$ 相加。

$f'' (x) = 110 x^{9} - 1350 x^{8} + 6480 x^{7} - 1188 x^{6} + 891 x^{5} - 13932 x^{6} + 16119 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.7

从 $- 1188 x^{6}$ 中减去 $13932 x^{6}$ 。

$f'' (x) = 110 x^{9} - 1350 x^{8} + 6480 x^{7} - 15120 x^{6} + 891 x^{5} + 16119 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 2.7.8

将 $891 x^{5}$ 和 $16119 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = 110 x^{9} - 1350 x^{8} + 6480 x^{7} - 15120 x^{6} + 17010 x^{5} - 7290 x^{4}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$f' (x) = x^{6} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{5}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$f' (x) = x^{6} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3.4.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

解题步骤 4.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

解题步骤 4.1.3.6

将 $6$ 移到 ${(x - 3)}^{5}$ 的左侧。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot ({(x - 3)}^{5} x^{5})$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1.1

从 $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

解题步骤 4.1.4.1.2

从 $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

解题步骤 4.1.4.1.3

从 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ 中分解出因数 $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ 。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

解题步骤 4.1.4.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ 。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{5} = 0$

${(x - 3)}^{4} = 0$

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

将 $x^{5}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $x^{5}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} = 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 的 $x^{5} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 5.3.2.2

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5.4

将 ${(x - 3)}^{4}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 ${(x - 3)}^{4}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{4} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 3)}^{4} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.5

将 $5 x + 6 (x - 3)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $5 x + 6 (x - 3)$ 设为等于 $0$ 。

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $5 x + 6 (x - 3) = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

化简 $5 x + 6 (x - 3)$ 。

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解题步骤 5.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1.1.1

运用分配律。

$5 x + 6 x + 6 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2.1.1.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$5 x + 6 x - 18 = 0$

解题步骤 5.5.2.1.2

将 $5 x$ 和 $6 x$ 相加。

$11 x - 18 = 0$

解题步骤 5.5.2.2

在等式两边都加上 $18$ 。

$11 x = 18$

解题步骤 5.5.2.3

将 $11 x = 18$ 中的每一项除以 $11$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将 $11 x = 18$ 中的每一项都除以 $11$ 。

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

解题步骤 5.5.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.3.2.1

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

解题步骤 5.5.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{18}{11}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$110 {(0)}^{9} - 1350 {(0)}^{8} + 6480 {(0)}^{7} - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$110 \cdot 0 - 1350 {(0)}^{8} + 6480 {(0)}^{7} - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.2

将 $110$ 乘以 $0$ 。

$0 - 1350 {(0)}^{8} + 6480 {(0)}^{7} - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 1350 \cdot 0 + 6480 {(0)}^{7} - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1350$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 6480 {(0)}^{7} - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 6480 \cdot 0 - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.6

将 $6480$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 - 15120 {(0)}^{6} + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 0 - 15120 \cdot 0 + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 15120$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + 17010 {(0)}^{5} - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + 17010 \cdot 0 - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.10

将 $17010$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 7290 {(0)}^{4}$

解题步骤 9.1.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 7290 \cdot 0$

解题步骤 9.1.12

将 $- 7290$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{18}{11}) \cup (\frac{18}{11}, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = {(- 2)}^{5} {((- 2) - 3)}^{4} (5 (- 2) + 6 ((- 2) - 3))$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 32 {((- 2) - 3)}^{4} (5 (- 2) + 6 ((- 2) - 3))$

解题步骤 10.2.2.1.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f' (- 2) = - 32 {(- 5)}^{4} (5 (- 2) + 6 ((- 2) - 3))$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 32 \cdot (625 (5 (- 2) + 6 ((- 2) - 3)))$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 32$ 乘以 $625$ 。

$f' (- 2) = - 20000 (5 (- 2) + 6 ((- 2) - 3))$

解题步骤 10.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 20000 (- 10 + 6 ((- 2) - 3))$

解题步骤 10.2.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f' (- 2) = - 20000 (- 10 + 6 \cdot - 5)$

解题步骤 10.2.2.2.3

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- 2) = - 20000 (- 10 - 30)$

解题步骤 10.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.3.1

从 $- 10$ 中减去 $30$ 。

$f' (- 2) = - 20000 \cdot - 40$

解题步骤 10.2.2.3.2

将 $- 20000$ 乘以 $- 40$ 。

$f' (- 2) = 800000$

解题步骤 10.2.2.4

最终答案为 $800000$ 。

$800000$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \frac{18}{11})$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = {(1)}^{5} {((1) - 3)}^{4} (5 (1) + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 10.3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 1 {((1) - 3)}^{4} (5 (1) + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 ${((1) - 3)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = {((1) - 3)}^{4} (5 (1) + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2.1.3

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (1) = {(- 2)}^{4} (5 (1) + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2.1.4

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (1) = 16 (5 (1) + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 16 (5 + 6 ((1) - 3))$

解题步骤 10.3.2.2.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (1) = 16 (5 + 6 \cdot - 2)$

解题步骤 10.3.2.2.3

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (1) = 16 (5 - 12)$

解题步骤 10.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.2.3.1

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$f' (1) = 16 \cdot - 7$

解题步骤 10.3.2.3.2

将 $16$ 乘以 $- 7$ 。

$f' (1) = - 112$

解题步骤 10.3.2.4

最终答案为 $- 112$ 。

$- 112$

解题步骤 10.4

将区间 $(\frac{18}{11}, 3)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = {(2)}^{5} {((2) - 3)}^{4} (5 (2) + 6 ((2) - 3))$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (2) = 32 {((2) - 3)}^{4} (5 (2) + 6 ((2) - 3))$

解题步骤 10.4.2.1.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (2) = 32 {(- 1)}^{4} (5 (2) + 6 ((2) - 3))$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (2) = 32 \cdot (1 (5 (2) + 6 ((2) - 3)))$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$f' (2) = 32 (5 (2) + 6 ((2) - 3))$

解题步骤 10.4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.2.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 32 (10 + 6 ((2) - 3))$

解题步骤 10.4.2.2.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (2) = 32 (10 + 6 \cdot - 1)$

解题步骤 10.4.2.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (2) = 32 (10 - 6)$

解题步骤 10.4.2.3

化简表达式。

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解题步骤 10.4.2.3.1

从 $10$ 中减去 $6$ 。

$f' (2) = 32 \cdot 4$

解题步骤 10.4.2.3.2

将 $32$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 128$

解题步骤 10.4.2.4

最终答案为 $128$ 。

$128$

解题步骤 10.5

将区间 $(3, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = {(6)}^{5} {((6) - 3)}^{4} (5 (6) + 6 ((6) - 3))$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

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解题步骤 10.5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 10.5.2.1.1

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (6) = 7776 {((6) - 3)}^{4} (5 (6) + 6 ((6) - 3))$

解题步骤 10.5.2.1.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f' (6) = 7776 \cdot (3^{4} (5 (6) + 6 ((6) - 3)))$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (6) = 7776 \cdot (81 (5 (6) + 6 ((6) - 3)))$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $7776$ 乘以 $81$ 。

$f' (6) = 629856 (5 (6) + 6 ((6) - 3))$

解题步骤 10.5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.5.2.2.1

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = 629856 (30 + 6 ((6) - 3))$

解题步骤 10.5.2.2.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f' (6) = 629856 (30 + 6 \cdot 3)$

解题步骤 10.5.2.2.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f' (6) = 629856 (30 + 18)$

解题步骤 10.5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 10.5.2.3.1

将 $30$ 和 $18$ 相加。

$f' (6) = 629856 \cdot 48$

解题步骤 10.5.2.3.2

将 $629856$ 乘以 $48$ 。

$f' (6) = 30233088$

解题步骤 10.5.2.4

最终答案为 $30233088$ 。

$30233088$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = \frac{18}{11}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{18}{11}$ 是极小值。

$x = \frac{18}{11}$ 是一个极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = 3$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = \frac{18}{11}$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = \frac{18}{11}$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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