微积分学示例

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 1.4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.8.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 1.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 1.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 1.13

化简分子。

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解题步骤 1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 1.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 1.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17

化简。

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解题步骤 1.17.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3

化简分子。

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解题步骤 1.17.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.17.3.1.1

组合 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.3.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.3.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.2

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.3

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.5

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.3.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.3.5.2

从 $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.4

合并项。

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解题步骤 1.17.4.1

将 $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 1.17.4.2

合并。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.17.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.4.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.7

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.8

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.9

约去公因数。

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解题步骤 1.17.4.9.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.9.2

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.9.3

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.4.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5

化简分子。

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解题步骤 1.17.5.1

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.17.5.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.5.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.3.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.3.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.5.3.2

化简 $x^{1}$ 。

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.17.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.17.7

乘以 $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ 。

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解题步骤 1.17.7.1

将 $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

解题步骤 1.17.7.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.17.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.7.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.7.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.7.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.17.8

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 5$ 且 $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

解题步骤 2.9

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

乘以 $- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.1.1

组合 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.1.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.1.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.3

乘以 $5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.3.1

组合 $5$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.2

要将 $x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.3

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.4

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.6

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.7

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中减去 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.8

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.8.1

从 $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.10.3.8.1.1

从 $- x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.8.1.2

从 $15 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.8.1.3

从 $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.8.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.8.3

化简。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.9

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.10

将 $15$ 重写为 $- 1 (- 15)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.11

从 $- (x) - 1 (- 15)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.12

将 $- (x - 15)$ 重写为 $- 1 (x - 15)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.3.13

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.4

合并项。

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解题步骤 2.10.4.1

将 $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.10.4.2

将 $\frac{1}{2 x^{3}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

解题步骤 2.10.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

解题步骤 2.10.4.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.10.4.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.10.4.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

解题步骤 2.10.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

解题步骤 2.10.4.5.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.10.4.5.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.10.4.5.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.10.4.5.6

化简分子。

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解题步骤 2.10.4.5.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

解题步骤 2.10.4.5.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4.1.4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.8.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 4.1.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.13

化简分子。

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解题步骤 4.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.1.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 4.1.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17

化简。

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解题步骤 4.1.17.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.2

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.17.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.17.3.1.1

组合 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.3.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.3.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.2

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.3

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.5

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.3.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.3.5.2

从 $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.4

合并项。

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解题步骤 4.1.17.4.1

将 $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.1.17.4.2

合并。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.17.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.4.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.7

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.8

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.9

约去公因数。

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解题步骤 4.1.17.4.9.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.9.2

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.9.3

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.4.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.17.5.1

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.17.5.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.5.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.3.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.3.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.5.3.2

化简 $x^{1}$ 。

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 4.1.17.7

乘以 $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ 。

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解题步骤 4.1.17.7.1

将 $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

解题步骤 4.1.17.7.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.17.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.17.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.7.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.7.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.7.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.1.17.8

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x - 5 = 0$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 x^{3} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.3.1.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.3.3.3

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.3.3.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.5.2

化简方程。

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解题步骤 6.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 5$

解题步骤 8

计算在 $x = 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

从 $5$ 中减去 $15$ 。

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.3

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 9.3.3

重写表达式。

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.4

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $5^{1}$ 移动到分母。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

解题步骤 9.6

通过指数相加将 $5^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $5^{- 1}$ 。

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解题步骤 9.6.1

移动 $5^{- 1}$ 。

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 9.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.6.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.6.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 9.6.5

在公分母上合并分子。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

解题步骤 9.6.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

解题步骤 9.6.6.2

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.7

乘以 $- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 9.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.7.2

将 $\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 5$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.2

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.3

将 $\frac{10}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $\frac{10}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 11.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 11.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 11.2.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 11.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.6.4.1

约去公因数。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.4.6.4.2

重写表达式。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11.2.4.6.5

计算指数。

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11.2.5

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.5.1

从 $10 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

解题步骤 11.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.5.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

解题步骤 11.2.5.2.2

约去公因数。

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.5.2.3

重写表达式。

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

解题步骤 11.2.5.2.4

用 $2 \sqrt{5}$ 除以 $1$ 。

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $2 \sqrt{5}$ 。

$y = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ 的局部极值。

$(5, 2 \sqrt{5})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例