微积分学示例

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.4

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [6 x y]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $6 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x y$ 对 $x$ 的导数是 $6 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

解题步骤 1.5.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $24 x - 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

解题步骤 1.6.2

重新排序项。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.3.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $6 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 12 x + 24$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 12 x + 24$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.4

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

解题步骤 4.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [6 x y]$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $6 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x y$ 对 $x$ 的导数是 $6 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

解题步骤 4.1.5.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $24 x - 6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

解题步骤 4.1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ 。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = - 6$ 、 $b = 24$ 和 $c = 6 y$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $24$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $576 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

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解题步骤 5.4.1.3.1

从 $576$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.3.2

从 $144 \cdot 4 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $144 (4 + y)$ 重写为 $12^{2} (2^{2} + y)$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $24$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $576 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

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解题步骤 5.5.1.3.1

从 $576$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.3.2

从 $144 \cdot 4 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $144 (4 + y)$ 重写为 $12^{2} (2^{2} + y)$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $24$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $576 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

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解题步骤 5.6.1.3.1

从 $576$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.3.2

从 $144 \cdot 4 + 144 y$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $144 (4 + y)$ 重写为 $12^{2} (2^{2} + y)$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

解题步骤 8

计算在 $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

运用分配律。

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

解题步骤 9.2

合并 $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ 中相反的项。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $12 \sqrt{4 + y}$ 。

$- 12 \sqrt{4 + y}$

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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